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第二十四章首日竞赛

2009年,适逢国际数学奥林匹克i一举办50届,国际数学奥林匹克委员会举行了50周年庆典活动。

在这场50周年庆典,出现了很多闻名世界的数学家。

庆典结束后,则是正式比赛,来自全球105个国家和地区的近560名学生将参加本届比赛。

整个比赛持续一周时间。

比赛选手将在这为期一周的时间内攻克数学难题,争夺数学奥林匹克的金银铜牌。每个国家的参赛选手,都抱着为国争光的决心前来征战世界。

3月15日,竞赛拉开帷幕

i一一共六道题,今天考三题,明天考三题,每题7分,满分是42分。每个竞赛日的竞赛时间为45个小时,可携带任何文具及作图工具,一切电子设备不被允许带入赛场。

因为竞赛时间较长,各选手可自带食物饮料进场,可并携带不多于三本的参考资料。

但是秦元清除了带了一些吃喝的,其他参考资料一本没带,因为按照以前的情况,参考资料基本上没有什么用的,出题人早已考虑到这些,要是参考资料能够找到解决办法,说明出题人的出题水平太烂了。

这就如同国内考试,开卷考往往比闭卷考难得多。

因为本国选手拿到题目,都已经是换成本国文字,所以选手拿到试卷,都不会存在任何语言文字的障碍。

秦元清拿到试卷,只有三题,第一题是最简单的,要是连第一题都不会做,那么后面两题都不用考虑了。

秦元清很冷静,第一道题最简单,是送分题,可是同样的,一不小心就变成了送命题。

“1是一个正整数,a1,k2是{1,2,,n}中的不同整数,并且naiai11对于所有i1,2,,k1都成立,证明:aka11不能被n整除。”

秦元清看了三遍题目,心中暗骂一下提供这题的人以后生孩子没屁眼,竟然暗设陷阱,一个不小心就会答错掉。

秦元清开始作答,首先利用数学归纳法证明:对任意的整数i2ik,都有被整除,得出当i2时,由已知得能被乘除的结论成立。一步步以此展开,最后得出,aka11不能被n整除的结论。

然后秦元清又看向第二道题。

“abc外接圆的圆心为一,cq分别在线段cacab上,k分别是bqcq的中点,圆Г过k并且与q相切。证明:一一q。”

秦元清这一题审题完成,倒是觉得这一题比上一题容易一些,没有设陷阱。先是做了一个圆,然后化作abc,然后又作出cacab线段以及cq二点,然后标出bqcq的中点k。最后作出圆Г。

随后以直线q与圆Г相切,相切点,然后通过弦切角定理得出qkk。由于点kc分别是bcq的中点,所以k∥bq,从而得出qkaq。

因此得到kaq。

同理,kaq。

根据角的相等,得到ka一,从而得到kaaq

因为k分别是线段bqcq的中点,所以得到kbq2,c2,将此带入上式得bqcaaq,将式子转为acaqbq。通过圆幂定理知一2一a2aa2aqbq一q2

所以,得出结论一一q。

秦元清连检查都没有检查,将抽向的数学问题转为图像,这个是他擅长的地方,他有十全的把握证明。

紧接着秦元清看向第三题,“3cs1,s2,s3,是严格递增的正整数数列,并且它的子数列ss1css2css3,和ss11,ss21,ss31都是等差数列。证明:s1,s2,s3是一个等差数列。”

看着这一题,秦元清微皱起眉头,这一题明显比前面两道题难得多,秦元清将已知条件稍微捋了一下,这一道题融合了等差数列c以及转换法。秦元清一步一步地展开,通过数列以及子数列都是严格的递增的正整数数列,设sskak1d1,ssk1bk1d2k1,2,acbcd1cd2n。

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